Uso de matemática e definição imprecisa de termos

Como estudante de pós-graduação em economia, tenho tentado expandir meu "conjunto de ferramentas" matemático. Enquanto isso, conversei com engenheiros, físicos e matemáticos, muitos dos quais menosprezaram o uso da matemática na economia. Seus argumentos variam, mas um tema comum é resumido pela crítica do matemático Michael Edesess :

A economia finge ser matemática, mas não é matemática. Há uma grande diferença. Nenhum matemático usa um termo em uma fórmula ou uma declaração de um teorema, a menos que esse termo tenha sido definido pela primeira vez com precisão excruciante.

E embora os economistas possam pensar que definiram termos como "demanda agregada" ou "crescimento econômico", devem tentar ler um pouco de matemática real para ver o que realmente é uma definição precisa. Os economistas, penso, deixam o trabalho de definição a ser inferido a partir da maneira como os termos são usados ​​nas fórmulas.

Eu acredito que eu sei que a definição precisa de (muito poucos) termos econômicos, mas talvez Edesess está apontando para alguns mais profundos fundamentos matemáticos que eu pode não estar familiarizado. Alguém poderia expandir seu argumento e talvez até retroceder?

Edesess está atacando o que é realmente apenas um homem de palha da economia. Não tenho certeza se ele realmente entende o campo. Para começar, economia não é matemática. Não estamos afirmando que sim. É mais uma ciência "aplicada". Os economistas nunca afirmaram que essas definições são precisas da maneira que a matemática é. Essas definições são construções de modelagem - são para trabalho aplicado. Seu uso é temporário de certa forma. O objetivo é tentar transmitir uma idéia de uma maneira mais precisa do que apenas com palavras - mas todos sabem que não são tão precisos quanto gostaríamos e nem tão precisos quanto deveriam ser. Eles devem ser debatidos e posteriormente refinados. Mas, como todos os cientistas aplicados sabem, você precisa começar em algum lugar e, às vezes, as idéias são melhor transmitidas por meios mais simples - se menos detalhados.

Criar melhores definições é uma grande parte da ciência econômica. Considere estes exemplos. Quando a Fundação Cowles foi fundada em 1932, seu lema era "Teoria e Medição" ( o lema foi adotado pela primeira vez em 1952 ). Medir não é uma coisa fácil de fazer. Como outro exemplo, grande parte do trabalho de Larry Kotlikoff tratou de como muitas medidas fiscais não são conceitos economicamente bem definidos.

Einstein nos ensinou que nem tempo nem distância são conceitos físicos bem definidos. Em vez disso, a medida deles é relativa ao nosso quadro de referência - com que rapidez estávamos viajando no universo e em que direção. Nosso quadro físico de referência pode ser visto como nosso idioma ou convenção de rotulagem. ... Kotlikoff, juntamente com Jerry Green, de Harvard, ofereceu uma prova geral da proposição de que déficits e várias outras medidas fiscais convencionais são, economicamente falando, livres de conteúdo, concluindo que o déficit é simplesmente uma invenção arbitrária da linguagem em todos os aspectos. modelos econômicos envolvendo agentes racionais.

Além disso, dê outro exemplo de interesse atual. O trabalho recente de Lars Hansen (vencedor do prêmio "Nobel" de Economia de 2013) concentrou-se na dificuldade e falha contínua na definição de certos conceitos econômicos, incluindo "bolhas" e risco sistêmico. Veja seu ensaio "Desafios na identificação e mensuração de riscos sistêmicos" . Sou fã do ditado que ele transmite, atribuído a Lord Kelvin,

Costumo dizer que, quando você pode medir algo sobre o que está falando, expressá-lo em números, você sabe algo sobre isso; mas quando você não pode mensurá-lo, quando não pode expressá-lo em números, seu conhecimento é do tipo escasso e insatisfatório: pode ser o começo do conhecimento, mas você dificilmente, em seus pensamentos, avançou para o estágio da ciência, qualquer que seja o assunto pode ser.

Ele observa que "uma versão abreviada aparece no prédio da Social Science Research da Universidade de Chicago". Então, sim, economistas (como cientistas sociais) definitivamente levam isso a sério.

Portanto, o ponto é que os economistas estão bem cientes dos problemas nessas "definições". Eles fazem parte da pesquisa em andamento no campo; às vezes são ignorados se as pessoas não pensam que são de primeira ordem para o problema; etc ...

A economia finge ser matemática, mas não é matemática.

Deus o livre, se você der licença à minha língua. Como muitas outras disciplinas científicas, a Economia usa a Matemática, certamente não é a Matemática e nunca pode se tornar Matemática.

A matemática pode se inspirar no mundo real, mas depois define e trabalha com seus conceitos, independentemente de permanecerem conectados à fonte de inspiração.
A economia, por outro lado, é obrigada a definir seus conceitos de maneira a preservar algum grau de relevância para os aspectos do mundo real que ela tenta estudar . E como o "mundo real" que preocupa a economia é o mundo social , cheio de incertezas e leis que ninguém descobriu ainda, segue-se que a economia nunca pode alcançar "precisão excruciante" e permanecer relevante . E daí? Economia não é matemática, já dissemos isso. Economia é mais difícildo que a matemática, exatamente porque não pode impor essa precisão a si mesma e permanecer útil. Mas ele segue o método científico e, em vez de se limitar a argumentos verbais, tenta "matematizá-los" (use linguagem simbólica, ou seja) para que eles possam ser mais transparentes e focados em suas conclusões e consistência interna. .

Seria muito mais fácil produzir tratados verbais, que primeiro exigiriam uma rodada de análise semântica e, em seguida, se essa rodada terminar em algum lugar, discutir o argumento em si . Mas, quando o colocamos na linguagem simbólica, limpamos a névoa e deixamos nossas instalações (e, portanto, nossas limitações e imperfeições ) brilharem para qualquer pessoa interessada em ver. É o que chamo de integridade científica nas ciências sociais, e é por isso que considero a economia a vanguarda das ciências sociais.

Definições em Matemática

O campo da matemática é muito mais do que apenas as aplicações. De fato, as aplicações são um resultado da matemática real, que vem na forma de provas e teoremas. Por exemplo, na teoria dos anéis, os matemáticos precisavam provar isso a * 0 = 0para todos os valores de a. Abaixo está a prova: Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

As aplicações deste benefício muitas pessoas quando costumavam mostrar 5 * 0 = 0, mas isso é apenas o resultado de um resultado mais amplo que foi provado.

Como são construídas essas provas? Através de definições. Para provar o resultado acima, não podemos assumir isso a(0 * 0) = a * 0 + a * 0; em vez disso, precisávamos usar a definição de "anel" que, por definição, permite a linha (1). Da mesma forma, precisávamos usar a definição de "anel" para saber que nos era permitido usar a -(a * 0)linha (2).

Definições em Economia

A economia, no entanto, não usa definições na mesma capacidade. Aqui, as definições são usadas estritamente para a "definição de termos" e não para a "relação de termos". Em Economia, não se pode provar que, no curto prazo, expandir a oferta de moeda (que causa inflação) diminuirá o desemprego. As definições em economia não estão definidas para isso; ainda mais, eles não podem fazer isso.
Parte da razão pela qual as definições em economia não podem fazer isso é por causa das definições. Pense nos termos "bom", "mercado" e "demanda". Todos esses termos têm definições desleixadas. Eles realmente não se relacionam com mais nada. Por outro lado, temos termos como "moeda" e "PIB" que possuem definições extensas e precisas. Essas definições foram escolhidas propositadamente, e as medidas de "moeda" e "PIB" são precisas por causa disso.
Outra parte do motivo pelo qual a Economia tem definições "ruins" se deve ao estudo da própria economia. A economia depende fortemente da demanda dos indivíduos. Essa demanda não pode ser quantificada nem existe garantia de que permanecerá a mesma de um momento para o outro. Portanto, não há maneira real de construir uma prova que seja verdadeira além de qualquer momento específico. Por esse motivo, a economia não precisa de definições rigorosas. Em matemática, no entanto, podemos construir provas independentemente dos números que usamos e, assim, transcender as limitações até um contexto muito amplo. Na prova acima, usamos em avez de um número para não precisarmos usar esse número e apenas esse número. Ao usar a, sabemos que multiplicar qualquer número por 0nos dará 0.

Resposta a Edesess

Edesess é mais (provavelmente 95%) correto. Na verdade, a maioria das definições de economia não é "definida com precisão" no mesmo nível que as definições matemáticas devem ser. Em matemática, as definições são cuidadosamente consideradas e decididas pela comunidade matemática como um todo (sem dizer que as definições econômicas não são, mas isso está fora do meu conhecimento). Além disso, pela natureza da economia, o uso das definições não pode ser usado para provar nada.
Em resposta à Edesess, no entanto, a economia não deve ser tratada como matemática por causa das diferenças fundamentais em como elas fazem descobertas. A economia é avançada através de pesquisas, dados de mercado, gráficos de oferta e demanda; A matemática é promovida por pesquisas, provas e teoremas.

A crítica de Edesess erra o alvo. A realidade é muito mais profunda do que o mero uso indevido de definições matemáticas.

A verdade de uma afirmação matemática depende fortemente da capacidade de refazer quaisquer definições usadas no nível lógico axiomático . Nesse sentido, não seria encontrado nenhum matemático usando definições que não podem ser reduzidas ao corpo de conhecimento matematicamente / logicamente verdadeiro que já existe. Mas isso está afirmando o óbvio.

Nos campos da ciência aplicada (biologia, medicina, engenharia, etc, etc), começa-se com um problema real (domínio do problema) ou fenômeno e modela o problema na linguagem da matemática. O objetivo é resolver / estudar / simular um problema matemático, para poder dizer algo sobre o problema real.

A crítica é realmente sobre a matemática da economia (que começou com Samuelson nos anos 50 e 60). A alegação é que alguns economistas fazem a transformação para o domínio matemático e perdem de vista o problema original e nunca se transformam de volta ao domínio do problema (ou seja, a interação de pessoas, empresas, recursos, etc.). Esses economistas parecem satisfeitos com a formulação de relações algébricas lineares ou com a resolução de equações auto-regressivas de vetores, sem justificativa empírica - ou pior - alegando que essa economia está acima de considerações de curto prazo (ou seja, minha teoria não pode ser falsificada em nenhuma de nossas vidas).

Existem muito exemplos disso. Uma óbvia é a chamada teoria do equilíbrio geral - que não só se mostrou matematicamente defeituosa (por meio de múltiplos equilíbrios (veja o teorema de Sonnenschein, Mantel, Debreu) ​​na década de 1970), mas a hipótese de não ter conteúdo empírico. Como resultado, alguns economistas preferem permanecer no domínio matemático - talvez buscando um modelo mais preciso (GE computável, GE dinâmico, GE estocástico, GE estocástico dinâmico, etc, etc) - daí a crítica incompreendida de que os economistas se disfarçam de matemáticos . Alguém poderia argumentar que essas pessoas são descritas com mais precisão como pseudo-matemáticos, disfarçados de economistas (no sentido do domínio do problema).