Construção da base de elemento finito em conformidade com

No artigo Métodos de elementos finitos em conformidade hierárquica para a equação biarmonica , P. Oswald afirmou que os elementos do tipo Clough-Tocher têm continuidade enquanto são um polinômio cúbico em cada triângulo. Ele não forneceu a um conjunto de funções básicas explícitas apenas os graus de liberdade padrão nos pontos de quadratura.$C^1$

Da mesma forma, no livro A teoria matemática dos métodos de elementos finitos, capítulo 3, os autores nos dão a construção de elementos finitos da Hermite cúbica, mas não mencionaram a continuidade dos elementos da Hermite cúbica.

No entanto, no artigo Complexos diferenciais e estabilidade numérica , Doulgas Arnold propôs que, para o espaço discreto em conformidade com / , deveríamos usar os elementos finitos Hermite quintic (ou melhor, Argyris), o que é muito complicado de expressar explicitamente.H $C^1$$H^2$

Então, aqui estão as minhas questões:

(1) Existe algum trabalho que elabore uma fórmula explícita para os elementos finitos conformes com / em malha triangular ou tetraédrica?H $C^1$$H^2$

(2) O cúbico por partes deve ser o grau mínimo de polinômios exigido para a continuidade ?$C^1$

Os elementos Hermite cúbicos têm uma derivada normal contínua, mas não uma continuidade completa . Em particular, as derivadas normais podem não corresponder no limite de dois elementos, longe dos vértices. Se você quiser continuidade completa , precisará usar o elemento Argyris ou Hsieh-Clough-Tucker ou algo assim. Eu recomendo a discussão no capítulo 6 do livro de elementos finitos de Ciarlet.C $C^1$$C^1$

O grau de polinômio necessário para a continuidade de dependerá da sua dimensão espacial, mas em 2D ou 3D não acho que você possa se dar bem com menos de polinômios cúbicos. Você pode considerar algum tipo de método não conforme que pode permitir um espaço de elemento finito mais simples.$C^1$

Refiro-lhe o livro Splines on Triangulations . Não consigo localizar minha cópia no momento para lhe dar uma resposta melhor, mas lembro-me de uma discussão / teoremas sobre a ordem polinomial necessária para os espaços . Se bem me lembro, Lai prova que, sob certas condições, é bom, mas é sempre suficiente. p = 3 p = $C^1$$p=3$$p=5$

Infelizmente, também me lembro que Lai não mostra como construir espaços , apenas prova que eles existem, dada uma triangulação e um espaço spline. Depois de ter essa prova, ele resolve sua aplicação com equações de restrição linear adicionais para reforçar a condição .C $C^1$$C^1$

Você pode consultar as seguintes páginas para obter uma lista completa das funções básicas do Argyris: FEMList.pdf Entrada da Wikipedia (francês)

Além disso, você pode usar o ArgyrisPack do VT-ICAM que eu e um colega desenvolvemos.