O espaço dos multiplicadores de Lagrange é muito rico em uma visualização matemática

Fundo:

O método multiplicador de Lagrange tem sido empregado em vários campos, como problemas de contato, interfaces de materiais, transformação de fases, restrições rígidas ou deslizamento ao longo de interfaces.
É sabido que uma má escolha ou design do espaço multiplicador de Lagrange produzirá resultados oscilatórios (problema instável) nos multiplicadores de Lagrange. Uma enorme quantidade de literatura ilustrou essa observação e algumas modificações ou melhorias foram feitas para remover as oscilações que normalmente são incorridas pelo desvio da condição inf-sup.

Questão:

Ao ler a literatura sobre o XFEM, deparei-me com o argumento abaixo destacado em vermelho, o que é bastante matemático. Como interpretar ou entender que o espaço é localmente muito rico e, como resultado, a condição inf-sup viola? Obrigado por qualquer contribuição.

A matriz do ponto de sela que você deve resolver assume a seguinte forma: onde A é a matriz irrestrita e B é a matriz que observa os valores da solução nos nós ao longo da interface imersa.

$$\begin{bmatrix} A & B^T \\ B \end{bmatrix},$$ $A$$B$

O condicionamento da matriz de ponto de sela é, em parte, controladas pelo valor singular mínimo de . Quanto menor o valor singular mínimo de B , pior o condicionamento. Para detalhes, eu recomendo o seguinte documento:$B$$B$

Krendl, Wolfgang, Valeria Simoncini e Walter Zulehner. "Estimativas de estabilidade e propriedades espectrais estruturais de problemas no ponto de sela". Numerische Mathematik 124.1 (2013): 183-213. https://arxiv.org/pdf/1202.3330.pdf

$B$

$B$

$$B = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ & 1/2 & 1/2 \\ & & 1/2 & 1/2 \\ &&& \ddots& \ddots \end{bmatrix}$$

$B$

$$\underbrace{\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & -1 &\dots\end{bmatrix}}_{\text{large norm}} ~B = \underbrace{\begin{bmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0 & \dots\end{bmatrix}}_{\text{small norm}}$$

$B$

Cada multiplicador de Lagrange corresponde a uma restrição. Portanto, se o espaço dos multiplicadores Lagrange for muito grande, você terá muitas restrições que não poderão mais ser satisfeitas ao mesmo tempo, sem restringir significativamente o número de incógnitas disponíveis para satisfazer a física do problema. É o que acontece no bloqueio: cada restrição reduz o número de incógnitas em um e você acaba com poucas incógnitas para ser fisicamente preciso.