O espaço dos multiplicadores de Lagrange é muito rico em uma visualização matemática

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Fundo:

O método multiplicador de Lagrange tem sido empregado em vários campos, como problemas de contato, interfaces de materiais, transformação de fases, restrições rígidas ou deslizamento ao longo de interfaces.
É sabido que uma má escolha ou design do espaço multiplicador de Lagrange produzirá resultados oscilatórios (problema instável) nos multiplicadores de Lagrange. Uma enorme quantidade de literatura ilustrou essa observação e algumas modificações ou melhorias foram feitas para remover as oscilações que normalmente são incorridas pelo desvio da condição inf-sup.

Questão:

Ao ler a literatura sobre o XFEM, deparei-me com o argumento abaixo destacado em vermelho, o que é bastante matemático. Como interpretar ou entender que o espaço é localmente muito rico e, como resultado, a condição inf-sup viola? Obrigado por qualquer contribuição.

Multiplicadores de Lagrange

Wenjin Xing
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Respostas:

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A matriz do ponto de sela que você deve resolver assume a seguinte forma: onde A é a matriz irrestrita e B é a matriz que observa os valores da solução nos nós ao longo da interface imersa.

[UMABTB],
UMAB

O condicionamento da matriz de ponto de sela é, em parte, controladas pelo valor singular mínimo de . Quanto menor o valor singular mínimo de B , pior o condicionamento. Para detalhes, eu recomendo o seguinte documento:BB

Krendl, Wolfgang, Valeria Simoncini e Walter Zulehner. "Estimativas de estabilidade e propriedades espectrais estruturais de problemas no ponto de sela". Numerische Mathematik 124.1 (2013): 183-213. https://arxiv.org/pdf/1202.3330.pdf

B

bloqueio de limite

B

B=[1/21/21/21/21/21/2]

B

[1-11-1]norma grande B=[1/20 00 00 0]norma pequena

B

Nick Alger
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Cada multiplicador de Lagrange corresponde a uma restrição. Portanto, se o espaço dos multiplicadores Lagrange for muito grande, você terá muitas restrições que não poderão mais ser satisfeitas ao mesmo tempo, sem restringir significativamente o número de incógnitas disponíveis para satisfazer a física do problema. É o que acontece no bloqueio: cada restrição reduz o número de incógnitas em um e você acaba com poucas incógnitas para ser fisicamente preciso.

Wolfgang Bangerth
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