Como integrar expressão polinomial sobre elemento 3D de 4 nós?

Quero integrar uma expressão polinomial sobre um elemento de 4 nós em 3D. Vários livros sobre FEA cobrem o caso em que a integração é executada sobre um elemento plano arbitrário de 4 neros. O procedimento usual neste caso é encontrar a matriz de Jacobi e usá-lo é determinante para alterar a base de integração para a normalizada, na qual eu tenho os limites de integração mais simples [-1; 1] e a técnica da quadratura de Gauss-Legendre é usada facilmente.

Em outras palavras $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ é reduzido para a forma$\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Mas, no caso 2D, altero o elemento arbitrário plano para o plano, mas com o quadrado bem formado 2 por 2.

O elemento 3D de 4 acenos não é plano em geral, mas suponho que ainda possa ser mapeado com o sistema de coordenadas 2D, que está de alguma forma relacionado ao sistema de coordenadas cartesianas. Não consigo descobrir como expressar {x, y, z} em termos de {e, n} e qual seria o tamanho da matriz Jacobi nesse caso (deveria ser quadrado).

Você está integrando uma função em um coletor bidimensional incorporado em ; livros em análise sobre variedades (como o livro acessível de Munkres ou os livros de Lee sobre variedades) são úteis para discutir a teoria que define esse tipo de integral.$\mathbb{R}^{3}$

Vamos supor que é uma função com valor real definida no coletor , que é o elemento 3D de 4 nós.$f$$\mathcal{M}$

Você deseja calcular:

Suponha que é uma função que mapeia para . Então$\varphi$$[-1,1]^{2}$$\mathcal{M}$

(Usei esse conjunto de notas para atualizar minha memória.) Acima, é a matriz jacobiana de e é sua transposição.$\mathrm{D}\varphi$$\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Depois de escrever a integral sobre , é possível usar métodos numéricos para avaliá-la.$[-1,1]^{2}$

Alguns comentários:

• Tenho certeza de que seu elemento 3D de 4 nós é um coletor. Se for, a função existe (por definição), é contínua por partes (para variedades topológicas) e é invertível. Cabe a você encontrar uma função com essas propriedades.$\varphi$
• O argumento acima supõe que é uma variedade suave, o que implica que existe um que é continuamente diferenciável. No seu caso, o elemento que você descreve pode não ser continuamente diferenciável. Se isso for verdade, você provavelmente ainda pode particionar seu coletor em dois coletores suaves e o argumento acima ainda é válido. Novamente, você deve encontrar satisfazendo as propriedades de invertibilidade e diferenciabilidade contínua.$\mathcal{M}$$\varphi$$\varphi$