Como integrar expressão polinomial sobre elemento 3D de 4 nós?

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Quero integrar uma expressão polinomial sobre um elemento de 4 nós em 3D. Vários livros sobre FEA cobrem o caso em que a integração é executada sobre um elemento plano arbitrário de 4 neros. O procedimento usual neste caso é encontrar a matriz de Jacobi e usá-lo é determinante para alterar a base de integração para a normalizada, na qual eu tenho os limites de integração mais simples [-1; 1] e a técnica da quadratura de Gauss-Legendre é usada facilmente.

Em outras palavras Sf(x,y) dxdy é reduzido para a forma1111f~(e,n) |det(J)|dedn

Mas, no caso 2D, altero o elemento arbitrário plano para o plano, mas com o quadrado bem formado 2 por 2.

O elemento 3D de 4 acenos não é plano em geral, mas suponho que ainda possa ser mapeado com o sistema de coordenadas 2D, que está de alguma forma relacionado ao sistema de coordenadas cartesianas. Não consigo descobrir como expressar {x, y, z} em termos de {e, n} e qual seria o tamanho da matriz Jacobi nesse caso (deveria ser quadrado).

Domínios 2D e 3D

danny_23
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Respostas:

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Você está integrando uma função em um coletor bidimensional incorporado em ; livros em análise sobre variedades (como o livro acessível de Munkres ou os livros de Lee sobre variedades) são úteis para discutir a teoria que define esse tipo de integral.R3

Vamos supor que é uma função com valor real definida no coletor , que é o elemento 3D de 4 nós.MfM

Você deseja calcular:

MfdS.

Suponha que é uma função que mapeia para . Entãoφ[1,1]2M

MfdS=[1,1]2f(φ(x,y))(det(DφT(x,y)Dφ(x,y)))1/2dxdy

(Usei esse conjunto de notas para atualizar minha memória.) Acima, é a matriz jacobiana de e é sua transposição.DφφDφT

Depois de escrever a integral sobre , é possível usar métodos numéricos para avaliá-la.[1,1]2

Alguns comentários:

  • Tenho certeza de que seu elemento 3D de 4 nós é um coletor. Se for, a função existe (por definição), é contínua por partes (para variedades topológicas) e é invertível. Cabe a você encontrar uma função com essas propriedades.φ
  • O argumento acima supõe que é uma variedade suave, o que implica que existe um que é continuamente diferenciável. No seu caso, o elemento que você descreve pode não ser continuamente diferenciável. Se isso for verdade, você provavelmente ainda pode particionar seu coletor em dois coletores suaves e o argumento acima ainda é válido. Novamente, você deve encontrar satisfazendo as propriedades de invertibilidade e diferenciabilidade contínua.Mφφ
Geoff Oxberry
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Muito obrigado. O livro que estou lendo cobre apenas o caso em que uma matriz Jacobi quadrada (2 por 2) está envolvida para manter as coisas simples. A expressão acima, se eu acertar, torna possível o uso de matrizes Jacobi de tamanho arbitrário (2 por 3). Infelizmente ainda estou recebendo no momento, mas é muito melhor do que eu tinha antes. Vou criar outro thread na escolha adequada da função de mapeamento. Obrigado novamente. det(DφT(x,y)Dφ(x,y))=0
217128
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Sua matriz jacobianaD φ T D φDφ deve ser 3 por 2, então deve ser uma matriz 2 por 2. DφTDφ
Geoff Oxberry
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Geoff, está correto. Eu coloquei uma fórmula geral simples, mais um exemplo trabalhado aqui: theoretical-physics.net/dev/src/math/integration.html
Ondřej Čertík