Como calcular o valor esperado de uma distribuição normal padrão?

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Eu gostaria de aprender como calcular o valor esperado de uma variável aleatória contínua. Afigura-se que o valor esperado é em que é a função de densidade de probabilidade de .f ( x ) X

E[X]=xf(x)dx
f(x)X

Suponha que a função densidade de probabilidade de  seja que é a densidade da distribuição normal padrão.f ( x ) = 1X

f(x)=12πex22

Então, primeiro eu inseria o PDF e obtinha que é uma equação bastante confusa. A constante pode ser movida para fora da integral, fornecendo 1

E[X]=-x12πe-x22dx
E[X]=112π
E[X]=12π-xe-x22dx.

Eu fico preso aqui. Como faço para calcular integral? Estou fazendo isso corretamente até agora? É a maneira mais simples de obter o valor esperado?

mmh
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o título da sua pergunta é enganoso. Na verdade, você está tentando calcular o valor esperado de uma variável aleatória normal padrão. Você também pode calcular o valor esperado de uma função de um RV. Prefiro colocar no título: "Como calcular o valor esperado de uma distribuição normal padrão". Ou "Como calcular o valor esperado de uma variável aleatória contínua".
Gumeo 13/10/2015
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@ GuðmundurEinarsson corrigido.
mmh
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"Eu fico preso aqui. Como faço para calcular integral?" Encontre a derivada de . (Não, eu não estou sendo ridículo e sugerindo trabalho desnecessário para você; eu sou muito sério; Just Do It!). Então olhe com muita atenção a derivada que você encontrou. -e-x22
Dilip Sarwate

Respostas:

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Você está quase chegando, siga seu último passo:

E[X]=12π-xe-x22dx=-12π-e-x2/2d(-x22)=-12πe-x2/2-=0 0
.

Ou você pode usar diretamente o fato de que é uma função ímpar e os limites da integral são simetria.xe-x2/2

Norte profundo
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O argumento de simetria só funciona se as duas metades forem convergentes.
Glen_b -Reinstala Monica
Você poderia explicar o que acontece na segunda linha?
mmh
O comentário de Glen está correto, se não é, então variáveis mudança de-convergentes não vai funcionar
Profundo Norte
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A segunda linha é igual à primeira linha desde que também observa o sinal negativo no início. Então você pode pensar na mudança de variável para integração e depois alterá-la novamente, pois os limites não mudaram. Ou você pode usar a integração por partes. E lembre-se b a eydy=ey b ad(-x22)=-xdxumabeydy=eyumab
Deep North
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Para usar a simetria para obter a média, você precisa saber que converge - isso ocorre nesse caso, mas geralmente você não pode assumi-lo. Por exemplo, o argumento de simetria diria que a média do padrão Cauchy é 0, mas não possui um. 0 0xf(x)dx
Glen_b -Reinstala Monica
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Como você deseja aprender métodos para calcular as expectativas e deseja conhecer algumas maneiras simples, poderá usar a função de geração de momento (mgf)

ϕ(t)=E[etX].

O método funciona especialmente bem quando a função de distribuição ou sua densidade são dadas como exponenciais. Nesse caso, você realmente não precisa fazer nenhuma integração depois de observar

t2/2-(x-t)2/2=t2/2+(-x2/2+tx-t2/2)=-x2/2+tx,

porque, escrevendo a função de densidade normal padrão em como (para uma constante cujo valor você não precisará saber), isso permite que você reescreva seu mgf comoxCe-x2/2C

ϕ(t)=CRetxe-x2/2dx=CRe-x2/2+txdx=et2/2CRe-(x-t)2/2dx.

No lado direito, seguindo o termo , você reconhecerá a integral da probabilidade total de uma distribuição Normal com média e variação unitária, que, portanto, é . Consequentementeet2/2t1

ϕ(t)=et2/2.

Como a densidade Normal fica pequena em valores grandes tão rapidamente, não há problemas de convergência, independentemente do valor de . é reconhecidamente analítico em , o que significa que é igual a sua série MacLaurintϕ0 0

ϕ(t)=et2/2=1+(t2/2)+12(t2/2)2++1k!(t2/2)k+.

No entanto, como converge absolutamente para todos os valores de , também podemos escreveretXtX

E[etX]=E[1+tX+12(tX)2++1n!(tX)n+]=1+E[X]t+12E[X2]t2++1n!E[Xn]tn+.

Duas séries de potências convergentes podem ser iguais apenas se forem iguais termo a termo, de onde (comparando os termos envolvendo )t2k=tn

1(2k)!E[X2k]t2k=1k!(t2/2)k=12kk!t2k,

implicando

E[X2k]=(2k)!2kk!, k=0 0,1,2,...

(e todas as expectativas de potências ímpares de são zero). Praticamente sem esforço, você obteve as expectativas de todos os poderes integrais positivos de ao mesmo tempo.XX


Variações dessa técnica podem funcionar igualmente bem em alguns casos, como , desde que o intervalo de seja adequadamente limitado. O mgf (e seu parente próximo a função característica ) são tão geralmente úteis, porém, que você os encontrará dados em tabelas de propriedades distributivas, como na entrada da Wikipedia sobre a distribuição Normal .E[1/(1-tX)]=E[1+tX+(tX)2++(tX)n+]X E[eEutX]

whuber
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