Como calcular o valor esperado de uma distribuição normal padrão?

Eu gostaria de aprender como calcular o valor esperado de uma variável aleatória contínua. Afigura-se que o valor esperado é em que é a função de densidade de probabilidade de .f ( x )

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$$ $f(x)$$X$

Suponha que a função densidade de probabilidade de  seja que é a densidade da distribuição normal padrão.f ( x ) = $X$

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$$

Então, primeiro eu inseria o PDF e obtinha que é uma equação bastante confusa. A constante pode ser movida para fora da integral, fornecendo

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$$ E[X]=$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ $$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$$

Eu fico preso aqui. Como faço para calcular integral? Estou fazendo isso corretamente até agora? É a maneira mais simples de obter o valor esperado?

Você está quase chegando, siga seu último passo:

$$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$$ .

Ou você pode usar diretamente o fato de que é uma função ímpar e os limites da integral são simetria.$xe^{-x^2/2}$

Como você deseja aprender métodos para calcular as expectativas e deseja conhecer algumas maneiras simples, poderá usar a função de geração de momento (mgf)

$$\phi(t) = E[e^{tX}].$$

O método funciona especialmente bem quando a função de distribuição ou sua densidade são dadas como exponenciais. Nesse caso, você realmente não precisa fazer nenhuma integração depois de observar

$$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$$

porque, escrevendo a função de densidade normal padrão em como (para uma constante cujo valor você não precisará saber), isso permite que você reescreva seu mgf como$x$$C e^{-x^2/2}$$C$

$$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$$

No lado direito, seguindo o termo , você reconhecerá a integral da probabilidade total de uma distribuição Normal com média e variação unitária, que, portanto, é . Consequentemente$e^{t^2/2}$$t$$1$

$$\phi(t) = e^{t^2/2}.$$

Como a densidade Normal fica pequena em valores grandes tão rapidamente, não há problemas de convergência, independentemente do valor de . é reconhecidamente analítico em , o que significa que é igual a sua série MacLaurin$t$$\phi$$0$

$$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$$

No entanto, como converge absolutamente para todos os valores de , também podemos escrever$e^{tX}$$tX$

$$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$$

Duas séries de potências convergentes podem ser iguais apenas se forem iguais termo a termo, de onde (comparando os termos envolvendo )$t^{2k} = t^n$

$$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$$

implicando

$$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$$

(e todas as expectativas de potências ímpares de são zero). Praticamente sem esforço, você obteve as expectativas de todos os poderes integrais positivos de ao mesmo tempo.$X$$X$

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Variações dessa técnica podem funcionar igualmente bem em alguns casos, como , desde que o intervalo de seja adequadamente limitado. O mgf (e seu parente próximo a função característica ) são tão geralmente úteis, porém, que você os encontrará dados em tabelas de propriedades distributivas, como na entrada da Wikipedia sobre a distribuição Normal .$E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$$X$ $E[e^{itX}]$