Valor esperado das variáveis ​​aleatórias iid

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Me deparei com este derivação que eu não entendo: se são amostras aleatórias de tamanho n retiradas de uma população de μ média e variância σ 2 ,X1,X2,...,Xnμσ2

X¯=(X1+X2+...+Xn)/n

E(X¯)=E(X1+X2+...+Xn)/n=(1/n)(E(X1)+E(X2)+...+E(Xn))

E(X¯)=(1/n)(μ+μ+...n times)=μ

É aqui que estou perdido. O argumento usado é porque eles são distribuídos de forma idêntica. Na realidade, isso não é verdade. Suponha que eu tenha uma amostra, S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e, em seguida, se selecionar aleatoriamente 2 números com substituição e repetir esse procedimento 10 vezes, obterá 10 amostras: (5, 4) (2 , 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). É assim que se parece com 2 variáveis ​​aleatórias X 1 , X 2 . Agora, se eu pegar o valor esperado deE(Xi)=μS={1,2,3,4,5,6}X1,X2 eu recebo,X1

E(X1)=1.(1/10)+2.(3/10)+3.(1/10)+4.(2/10)+5.(2/10)+6.(1/10)=34/10=3.4

Mas o valor esperado da população é de 3,5. O que realmente está errado no meu raciocínio?

RenamedUser7008
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O que está errado é que é uma variável aleatória não uma amostra ...X
Tim
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Você está confundindo média empírica com base em uma amostra e média probabilística com base na distribuição da população. O primeiro é aleatório, o segundo não é.
Xian

Respostas:

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Antes de mais nada, não são amostras. Essas são variáveis ​​aleatórias, como apontado por Tim. Suponha que você esteja fazendo um experimento no qual estima a quantidade de água em um item alimentar; por isso, digamos 100 medidas de conteúdo de água para 100 itens alimentares diferentes. Cada vez que você obtém um valor do teor de água. Aqui, o conteúdo de água é variável aleatória e agora suponha que existam no total 1000 itens alimentares que existem no mundo. 100 itens alimentares diferentes serão chamados uma amostra desses 1000 itens alimentares. Observe que o conteúdo de água é a variável aleatória e 100 valores do conteúdo de água obtidos formam uma amostra. X1,X2,...,Xn

E(X)=μX¯XiXiμnμn=μ

A terceira equação da sua pergunta é a condição para que um estimador seja um estimador imparcial do parâmetro populacional. A condição para um estimador não ser imparcial é

E(θ¯)=θ

θ¯

{1,2,3,4,5,6}10{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5}. A questão é como você estimaria a média da população, dada essa amostra. De acordo com a fórmula acima, a média da amostra é um estimador imparcial da média da população. O estimador imparcial não precisa ser igual à média real, mas é o mais próximo da média que você pode obter.

Abhinav Gupta
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