Expectativa de produto de variáveis aleatórias gaussianas

Digamos que temos dois vetores aleatórios gaussianos $p(x_1) = N(0,\Sigma_1), p(x_2) = N(0,\Sigma_2)$ , existe um resultado bem conhecido para a expectativa de seu produto $E[x_1x_2^T]$ sem assumir independência?

@ asd123 1) ao escrever

Σ

$\Sigma$ , sugere que

x_{1}

$x_1$ e

x_{2}

$x_2$ são vetores; nesse caso, o produto

x_{1} x_{2}

$x_{1}x_{2}$ não é definido como escrito (a menos que

n = 1

$n=1$ ). Você quer dizer

x_{1}^{T} x_{2}

$x_{1}^{\mathrm{T}}x_{2}$ ? Se não, o que você quer dizer? 2) Sem independência, não é necessariamente verdade que

(x_{1}, x_{2})

$(x_{1},x_{2})$ é conjuntamente normal; portanto, parece que você precisaria de mais informações sobre a distribuição conjunta (e / ou matriz de variância / covariância) antes de poder dizer algo definitivo. .

Sim, eu quis dizer que

x_{1}

$x_1$ e

x_{2}

$x_2$ são vetores. Eu também sei que eles são conjuntamente gaussianos. Isso ajuda?

@ asd123 em parte, sim, porque então

x_{1}

$x_1$ e

x_{2}

$x_2$ serão independentes se, e somente se eles não estão correlacionados (olhar para a variância / covariância matriz de

x^{T} = (x_{1}^{T}, x_{2}^{T})

$x^{\mathrm{T}}=(x_{1}^{\mathrm{T}},x_{2}^{\mathrm{T}})$ . Se o off-diagonal as matrizes de bloco são zero e não correlacionadas). Se eles são independentes, basta escrever o produto escalar acima, obter os valores esperados e tudo estará pronto. Se eles não são independentes, você sabe alguma coisa sobre as entradas de bloco fora da diagonal?

A propósito, se o que foi dito acima é realmente o que você quer dizer, eu recomendo que você mude o título para "Expectativa de produto escalar de vetores aleatórios gaussianos".

Desculpe, pretendia transpor a outra variável. Então o resultado é uma matriz. Ou seja, Mx1) x (1xM) = (MxM)

Respostas:

Sim, há um resultado conhecido. Com base na sua edição, podemos nos concentrar primeiro nas entradas individuais da matriz . Essa entrada é o produto de duas variáveis de média zero e variâncias finitas, por exemplo, e . A desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que o valor absoluto da expectativa do produto não pode exceder . De fato, todo valor no intervalo $E[x_1 x_2^T]$ $\sigma_1^2$ $\sigma_2^2$ $|\sigma_1 \sigma_2|$ é possível porque surge para alguma distribuição binormal. Portanto, o de entrada de tem de ser inferior ou igual a $[-|\sigma_1 \sigma_2|, |\sigma_1 \sigma_2|]$ $i,j$ $E[x_1 x_2^T]$ em valor absoluto. $\sqrt{\Sigma_{1_{i,i}} \Sigma_{2_{j,j}}}$

Se agora assumimos que todas as variáveis são normais e que é multinormal, haverá mais restrições porque a matriz de covariância de deve ser semidefinida positiva. Em vez de enfatizar o ponto, vou ilustrar. Suponha que tenha dois componentes e e que tenha um componente . Seja e tenham variação e correlação unitárias (especificando assim $(x_1; x_2)$ $(x_1; x_2)$ $x_1$ $x$ $y$ $x_2$ $z$ $x$ $y$ $\rho$ ) e suponha que tenha variação de unidade ( ). Seja a expectativa de seja e a de seja . Nós estabelecemos que e . No entanto, nem todas as combinações são possíveis: no mínimo, odeterminante da matriz de covariância de não pode ser negativo. Isso impõe a condição não trivial $\Sigma_1$ $z$ $\Sigma_2$ $x z$ $\alpha$ $y z$ $\beta$ $|\alpha| \le 1$ $|\beta| \le 1$ $(x_1; x_2)$

1 - α^{2} - β^{2} + 2 α β ρ - ρ^{2} \geq 0

$1-\alpha ^2-\beta ^2+2 \alpha \beta \rho -\rho ^2 \ge 0.$

Para qualquer é uma elipse (junto com seu interior) inscrita no quadrado . $-1 \lt \rho \lt 1$ $\alpha, \beta$ $[-1, 1] \times [-1, 1]$

Para obter restrições adicionais, são necessárias suposições adicionais sobre as variáveis.

Gráfico da região admissível $(\rho, \alpha, \beta)$

texto alternativo

whuber
fonte

Não há resultados fortes e isso não depende da gaussianidade. No caso em que e são escalares, você está perguntando se o conhecimento da variação das variáveis implica em algo sobre sua covariância. a resposta do whuber está certa. A desigualdade de Cauchy-Schwarz e a semidefinitividade positiva restringem os valores possíveis. $x_1$ $x_2$

O exemplo mais simples é que a covariância ao quadrado de um par de variáveis nunca pode exceder o produto de suas variações. Para matrizes de covariância, existe uma generalização.

Considere a matriz de covariância particionada em bloco de , $[x_1 \ x_2]$

[\begin{array}{cc} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{array}] .

$\left[ \begin{array}{cc} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{array} \right].$

Em seguida, para todos os q-Schatten normas . A (semi) definição positiva da matriz de covariância também fornece a restrição de que deve ser positiva (semi) definida. é o inverso (Moore-Penrose) de .

__Σ_{12} {__}_{q}^{2} \leq__Σ_{11} {__}_{q}__Σ_{22} {__}_{q}

$\Vert \Sigma_{12} \Vert_q^2 \leq \Vert \Sigma_{11} \Vert_q \Vert \Sigma_{22} \Vert_q$

Σ_{11} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21}

$\Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}$

Σ_{22}^{- 1}

$\Sigma_{22}^{-1}$

Σ_{22}

$\Sigma_{22}$

vqv
fonte

suponha que seja normal bivariado com média zero e correlação . então $(X,Y)$ $\rho$

. ${\mathrm E} XY= cov(X,Y)= \rho\sigma_X\sigma_Y$

todas as entradas na matriz são da forma . $x_1x_2^T$ $XY$

ronaf
fonte

... e então, é claro, concluímos

. Isso ilustra a resposta fornecida por @vqv. @ronaf: por que você não votou na resposta do @ vqv então?

| ρ | \leq 1

$|\rho| \le 1$

whuber

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

Expectativa de produto de variáveis ​​aleatórias gaussianas

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