Simplificando a função objetivo de uma monoplist sob informação incompleta

Estou trabalhando no capítulo sobre triagem multidimensional de Rochet e Stohle (2003) , e estou lutando para preencher os espaços em branco entre a equação (2.1) p. 154, e sua forma simplificada na página 155. Em particular, a minha pergunta diz respeito:

Os consumidores são do tipo ∈ Θ = [ θ _ , ˉ θ ] com cdf F ( θ ) associado , que é absolutamente contínuo, e a função de densidade associada f ( θ ) = F ′ ( θ ) . Esta é a distribuição de tipos.$\theta$ $\in$ $\Theta$$\underline\theta$$\bar\theta$$F(\theta)$$f(\theta)$$F'(\theta)$

Existe também uma relação de preferência para cada consumidor para : u = v ( q , θ ) - P com a propriedade de cruzamento simples v q θ > 0 . Estou adicionando isso para o contexto, mas todas as informações podem não ser necessárias para minha pergunta específica.$q \in Q = [0,\bar q]$$u = v(q, \theta) - P$$v_{q\theta} > 0$

Isso torna uma função de utilidade indireta definida por:

$u(\theta) = \max_{\rm {q\in Q}} \{v(q, \theta) - P(q)\}$

A empresa de monopólio está usando uma tarifa não linear, , e quer maximizar seu retorno esperado (estou pulando algumas informações não necessárias para minha pergunta sobre o que torna essa equação):$P(q)$

$E(\pi) = \int^\bar\theta_\underline\theta [S(q(\theta), \theta) - u(\theta)] dF(\theta)$ equação (2.1) no texto

sujeito a:

$du/d\theta = v_\theta(q(\theta), \theta)$

$dq(\theta)/d\theta\geq0$

$IR\space constraint$

Note que a função não é importante para minha pergunta, portanto, não estou incluindo sua definição aqui.$S(q(\theta), \theta)$

Agora a minha pergunta. Os autores fazem uma simplificação do problema:

$E(\pi) = \int^\bar\theta_\underline\theta [S(q(\theta), \theta) - \frac {1-F(\theta)}{f(\theta)}v_\theta(q(\theta), \theta) - u(\underline\theta)]dF(\theta)$

sujeito a:

$dq(\theta)/d\theta\geq0$

$IR\space constraint$

Agora, isso para mim é o mesmo que dizer:

$\int^\bar\theta_\underline\theta u(\theta) dF(\theta) = \int^\bar\theta_\underline\theta [\frac {1-F(\theta)}{f(\theta)}v_\theta(q(\theta), \theta) + u(\underline\theta)]dF(\theta)$

E aqui é onde eu preciso de ajuda para preencher os passos. Como explicam os autores, isso é feito pela integração por partes e usando uma das restrições. Eu recebo algo assim:

$\int^\bar\theta_\underline\theta u(\theta) dF(\theta) = u(\theta)F(\theta)|^\bar\theta_\underline\theta - \int^\bar\theta_\underline\theta F(\theta)v_\theta(q(\theta),\theta)d\theta$

Eu posso simplificar isso um pouco mais, mas isso não simplifica a expressão dos autores. Portanto, alguém pode me ajudar a preencher os espaços em branco?

Espero ter deixado informações suficientes, caso contrário, por favor, deixe-me saber o que preciso esclarecer.

Eu vou começar da sua última equação.

$$\begin{align*} \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{u(\theta) dF(\theta)} & = \Big[ u(\theta)F(\theta) \Big]_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}} - \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\bar{\theta})F(\bar{\theta})-u(\underline{\theta})F(\underline{\theta})-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\bar{\theta})-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \text{ since } F(\bar{\theta})=1, F(\underline{\theta})=0\\ & = u(\underline{\theta})+(u(\bar{\theta})-u(\underline{\theta}))-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{u'(\theta) d\theta}-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta}-\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{F(\theta) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \text{ since } u'=v_{\theta}\\ & = u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{(1-F(\theta)) v_{\theta}(q(\theta),\theta) d\theta} \\ & = u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{\dfrac{1-F(\theta)}{f(\theta)} v_{\theta}(q(\theta),\theta) dF(\theta)} \\ & = \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{u(\underline{\theta})dF(\theta)}+\int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{\dfrac{1-F(\theta)}{f(\theta)} v_{\theta}(q(\theta),\theta) dF(\theta)} \\ & = \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}{\Big[u(\underline{\theta})+\dfrac{1-F(\theta)}{f(\theta)} v_{\theta}(q(\theta),\theta) \Big]dF(\theta)} \end{align*}$$