Calculei o valor esperado e a variância corretamente?

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Eu tenho a seguinte atribuição para resolver, mas não tenho certeza se resolvi corretamente.

Questões

Deixe o processo estocástico $ (Y_t) _t $ ser definido por $ Y_t = \ mu + Y_ {t-1} + \ varepsilon _t $ com $ (\ varepsilon _t) _t \ sim \ mathrm {WN} (0,1) $.

a) Calcule o valor esperado e a variância de $ (\ Delta Y_t) _t $.

b) Prove que $ (\ Delta Y_t) _t \ sim \ mathrm {MA} (1) $ e calcule a função de autocovariação de $ (\ Delta Y_t) _t $.

Minhas soluções

a) \ begin {eqnarray} Y_ {t + 1} & amp; = & amp; \ mu + Y_t + \ varepsilon_ {t + 1} \\ [1ex] \ implica \ Delta Y_t = Y_ {t + 1} -Y_t & amp; = & amp; \ mu + \ varepsilon_ {t + 1} \\ [1ex] \ mathrm E (\ Delta Y_t) & amp; = & amp; \ mu + \ mathrm E (\ varepsilon_ {t +1}) = \ mu \ hspace {6cm} \\ [1ex] \ mathrm {Var} (\ Delta Y_t) & amp; = & amp; \ mathrm {Var} (\ varepsilon _ {t + 1}) = 1 \ end {eqnarray}

b) \ begin {eqnarray} (\ Delta Y_t) _t & amp; = & amp; \ mu + \ varepsilon_ {t + 1} + 0 \ cdot \ varepsilon_t \\ [1ex] \ implies \ mathrm {ACV} & amp; = & amp; \ mathrm {Cov} (\ Delta Y_t, \ Delta Y_ {t-h}) \\  & amp; = & amp; \ mathrm {Cov} (\ varepsilon_ {t +1}, \ varepsilon_ {t-h + 1}) = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & amp; h = 0 \ 0 & amp; \ text {caso contrário} \ end {array} \ right. \ end {eqnarray}

O que você acha?

mathematical-economics statistics rdvl0
fonte
Por favor, leia nosso Perguntas frequentes ! "Não basta postar uma varredura ou imagem de toda a questão, nem da sua tentativa de resposta."
denesp
Eu sinto Muito! Eu tentei fazer isso, mas não mostraria minhas fórmulas matemáticas corretamente.
rdvl0
Oi: seu acf está incorreto. escreva o processo estocástico para $ Y_ {t-1} $ e então subtraia do processo por $ Y_t $ e você verá que acabará com dois termos épsilon, o que torna o acf no desfasamento um diferente de zero, o que implica que o processo é MA (1). .
mark leeds
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@ rdvl0 tente isto para formatar sua pergunta math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…
EconJohn
O aprendizado do @denesp TeX não é simples. Visto que eu acho que essa questão se encaixa nos 'requisitos' de mostrar esforço, acho que a melhor coisa a fazer é editar o TeX por nós mesmos. stackoverflow.blog/2018/04/26/…
ahorn

Respostas:

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Quem formulou o exercício está errado, e é por isso que estou postando uma resposta completa para uma pergunta de lição de casa. Este é um exemplo clássico em que a manipulação de relações recursivas pode levar a diferentes representações que podem parecer "diferentes" e com propriedades diferentes.

$$ \ Delta Y_t \ equiv Y_ {t} -Y_ {t-1} = \ mu + Y_ {t-1} + \ varepsilon_ {t} - \ mu - Y_ {t-2} - \ varepsilon_ {t- 1} $$

$$ \ implica \ Delta Y_t = \ Delta Y_ {t-1} - \ Delta \ varepsilon_ {t} \ tag {1} $$

Ao mesmo tempo

$$ Y_t = \ mu + Y_ {t-1} + \ varepsilon _t \ implica \ Delta Y_t = \ mu + \ varepsilon _t \ tag {2} $$

O lado direito das Eqs. $ (1) $ e $ (2) $ representam o mesmo processo.

Em qualquer caso, nem destes são $ MA (1) $.

Avançando, qual escolher?

Uma suave adoção da navalha de Occam indica que eq. $ (2) $ é o mais simples. Um pouco mais especificamente, notamos que a manipulação resultante em $ (1) $ não "salvou" a existência de uma raiz unitária e não-estacionariedade de forma clara.

Ambos, portanto, sugerem adotar $ (2) $, que diz que $ \ {\ Delta Y_t \} _ t $ é a soma de constantes e um processo de $ WN $.

Alecos Papadopoulos
fonte
@markleeds A página 5-6 do link que você menciona discute um modelo com uma tendência determinista.
Alecos Papadopoulos
@alex papadopoulos: Desculpe, Alex. É a página 3. Minha opinião é que, se a diferença é a expectativa no tempo (t + s) e no tempo (t + s-1), então a primeira diferença dessas expectativas será e_ (t + s) - e_ ( t + s-1) que é um MA (1) com $ \ theta = -1 $. Essa é a única coisa que posso pensar, até porque a pergunta pede para mostrar. Mas eu concordo que é muito estranho olhar dessa maneira.
mark leeds
Alecos. Eu olhei com mais cuidado e faz um pouco mais de sentido do que eu pensava, porque você não precisa diferenciar as expectativas. Basicamente, pegue a equação entre "e" e "de modo que" na página 3. Em seguida, defina-o por um período e subtraia-o de si mesmo. O resultado obtido é $ y_s - y_ {s-1} = \ epsilon_s - \ epsilon_ {s-1} $. Ainda assim, é um MA esquisito (1), porque os dois termos de ruído do lado direito podem ser adicionados e considerados como ruído puro, já que o parâmetro MA é -1. Interessante de qualquer maneira.
mark leeds
@ Markleeds Mark, eu não recebo seus cálculos. Eu acho $$ y_ {t + s-1} = y_0 + b (t + s-1) + \ sum_1 ^ tu + \ sum_ {t + 1} ^ {t + s-1} u $$ e então $ $ y_ {t + s} - y_ {t + s-1} = b + u_ {t + s} $$ Uma vez que assumimos um valor inicial, apenas os termos de fronteira são defasados
Alecos Papadopoulos
Você está absolutamente correto. Eu cometi um erro fazendo isso na minha cabeça. Eu aprendi com meus erros e comecei a fazê-lo no papel para ter certeza de que nenhum erro estúpido e a segunda diferença é MA (1), então $ y_ {t + s} - y_ {t + s-1} = y_ {t + s-1} - y_ {t + s-2} + u_ {t + s} - u_ {t + s-1} $ então pode ser visto como um ARIMA (0,2,1). Mas não é isso que a pergunta fez, então você está absolutamente certo de que a pergunta está errada. Obrigado pela correção.
mark leeds