No MEF, por que a matriz de rigidez é positiva definitivamente definida?

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Nas aulas do FEM, geralmente é dado como certo que a matriz de rigidez é definida positivamente, mas eu simplesmente não consigo entender o porquê. Alguém poderia dar uma explicação?

Por exemplo, podemos considerar o problema de Poisson:

2u=f,
cuja matriz de rigidez é:
Kij=ΩφiφjdΩ,
que é simétrico e positivo definido. A simetria é uma propriedade óbvia, mas a definição positiva não é tão explícita para mim.
user123
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Na verdade, isso depende da equação diferencial parcial que você está tentando resolver. Você pode adicionar o que você está interessado?
Christian Clason
Olá, @ChristianClason, obrigado pelo seu comentário. Eu adicionei um exemplo concreto desse problema.
user123
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Advertência: Sem condições de contorno, a matriz completa de rigidez do sistema, montada a partir de matrizes de elementos, não possui classificação completa, pois precisa mapear o equivalente a movimentos rígidos do corpo a zero forças. Assim, a matriz de rigidez completa pode ser, na melhor das hipóteses, positiva semidefinida. Porém, com condições de contorno adequadas, os movimentos rígidos do corpo são desativados e o sistema restrito é então não singular. (Caso contrário, não seria possível resolvê-lo). Portanto, para encontrar uma definição positiva real, é necessário observar a matriz condensada resultante da aplicação de condições de contorno.
Ccorn 28/11

Respostas:

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A propriedade segue a propriedade da correspondente (forma fraca da) equação diferencial parcial; essa é uma das vantagens dos métodos de elementos finitos em comparação com, por exemplo, métodos de diferenças finitas.

Para ver isso, primeiro lembre-se de que o método dos elementos finitos começa na forma fraca da equação de Poisson (estou assumindo aqui as condições de contorno de Dirichlet): Encontre tal que a ( u , v ) : = ohmsu vuH01(Ω)

a(u,v):=Ωuvdx=Ωfvdxfor all vH01(Ω).
(1)a(v,v)=vL22cvH12for all vH01(Ω).

Agora, a abordagem clássica dos elementos finitos é substituir o espaço infinito-dimensional por um subespaço finito-dimensional e encontrar modo que A propriedade importante aqui é que você está usando o mesmo e um subespaço (uma discretização em conformidade ); isso significa que você ainda possui H01(Ω) VhH01(Ω)uhVh

(2)a(uh,vh):=Ωuhvhdx=Ωfvhdxfor all vhVh.
aVhH01(Ω)
(3)a(vh,vh)cvhH12>0for all vhVh.

Agora, para a última etapa: para transformar a forma variacional em um sistema de equações lineares, escolha uma base de , escreva e insira , em . A matriz de rigidez possui as entradas (que coincide com o que você escreveu).{φ1,,φN}Vhuh=i=1Nuiφivh=φj1jN(2)KKij=a(φi,φj)

Agora pegue um vetor arbitrário e defina . Então temos e a bilinearidade de (ou seja, você pode mover escalares e somas para os dois argumentos) Como foi arbitrário, isso implica que é definitivo positivo.v=(v1,,vN)TRNvh:=i=1NviφiVh(3)a

vTKv=i=1Nj=1NviKijvj=i=1Nj=1Na(viφi,vjφj)=a(vh,vh)>0.
vK

TL; DR: A matriz de rigidez é definida positivamente porque provém de uma discretização em conformidade de uma equação diferencial parcial elíptica (auto-adjunta) .

Christian Clason
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Se a rigidez do elemento não for positiva, o sistema não será estável. Portanto, o modelo provavelmente não está correto. Veja a equação mais básica do oscilador harmônico

mx(t)+kx(t)=f(t)

A solução é instável se for negativo (observe as raízes da equação característica). Isso significa que a solução explodirá. A rigidez tem que ser uma força restauradora. Pelo menos para uma mola física. A matriz de rigidez estende isso para um grande número de elementos (matriz de rigidez global). Isso é tudo. Mas é a mesma ideia básica. A base do MEF está no método da matriz de rigidez para análise estrutural em que cada elemento tem uma rigidez associada a ele.k

Nasser
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