Exponenciais complexas são as únicas funções próprias dos sistemas de LTI?

Respostas:

9

Todas as funções próprias de um sistema LTI podem ser descritas em termos de exponenciais complexas, e exponenciais complexas formam uma base completa do espaço do sinal. No entanto, se você tiver um sistema degenerado , o que significa que você tem espaços próprios para a dimensão> 1, os vetores próprios para o valor próprio correspondente são todos uma combinação linear de vetores do subespaço. E combinações lineares de exponenciais complexas de diferentes frequências não são mais exponenciais complexas.

Exemplo muito simples: o operador de identidade 1 como um sistema LTI possui todo o espaço de sinal como espaço próprio com valor próprio 1. Isso implica que TODAS as funções são funções próprias.

Jazzmaniac
fonte
1
Exceto a função nula, é claro :) Apenas brincando
Laurent Duval
0

Eu pensei que tinha redigido minha resposta claramente --- aparentemente não :-). A pergunta original era: "Existem sinais autônomos além do complexo exponencial para um sistema de LTI?". A resposta é: se alguém recebe o fato de que o sistema é LTI, mas nada mais é conhecido, o único sinal de sinal confirmado é o exponencial complexo. Em casos específicos, o sistema também pode ter sinais de auto-sinal adicionais. O exemplo que dei foi o LPF ideal, pois sinc é um sinal de si mesmo. Observe que a função sinc não é um auto-sinal de um sistema LTI arbitrário. Dei o LPF e o sinc como exemplo para apontar um caso não trivial --- x (t) = y (t) satisfará um matemático, mas não um engenheiro: ->. Estou certo de que alguém pode apresentar outros exemplos não triviais específicos que têm outros sinais como sinais autônomos além do complexo exponencial.

Além disso, cos e pecado não são, em geral, sinais próprios. Se cos (wt) for aplicado e a saída for A cos (wt + theta), essa saída não poderá ser expressa como um tempo constante da entrada (exceto quando theta for 0 ou pi, ou A = 0), que é a condição necessário para que um sinal seja um sinal próprio. Pode haver condições sob as quais cos e pecado são sinais próprios, mas são casos especiais e não gerais.

CSR

CSR
fonte
Tem certeza de que entendeu meu comentário com sua outra resposta? O ponto é que, para sistemas reais de LTI, espera-se que ele tenha um seno real como sinal de si próprio. Isso não significa que todos os senos de todas as frequências são sinais autônomos. Especifiquei especificamente a condição exata para a qual são e expliquei por que essa condição é atendida pela maioria dos sistemas de LTI.
Jazzmaniac
Além disso, não esqueça que você editou sua resposta para alterar um pouco o significado. O passo de "Para uma função de transferência racional, não há outros sinais autônomos" para "Para sistemas arbitrários, não há sinais autógenos gerais além de .." é bastante grande. Então, colocar como se as pessoas não entendessem sua resposta corretamente é um pouco demais.
Jazzmaniac
0

Para qualquer sistema arbitrário de LTI, o exponencial complexo é, até onde eu sei, o único sinal próprio conhecido. Por outro lado, considere o LPF ideal. A função : sinc ( t ) sin ( π t )sinc

sinc(t)sin(πt)πt
sin(πt)πt
CSR
fonte
2
H(ω)=H(ω)H(ω)ω0πω0
Jazzmaniac
1
1
sinc(t)sin(πt)πt
H(f)=1|f|<12
1
x(t)=est
y(t)=H(s)x(t)
H(s)h(t)) parece uma função própria para mim. mas você está certo sobre as especificações da CSR.
Robert Bristow-johnson
1
L2
0

Talvez objetos multidimensionais invariantes espacialmente como lentes com simetria circular. É chamada de expansão de Fourier Bessel. Não há T para o tempo, mas as relações no domínio da frequência de convolução se mantêm


fonte