Considere uma caminhada aleatória inteira iniciando em 0 com as seguintes condições:
O primeiro passo é mais ou menos 1, com igual probabilidade.
Cada passo futuro é: 60% de probabilidade de estar na mesma direção que o passo anterior, 40% de probabilidade de estar na direção oposta
Que tipo de distribuição isso gera?
Eu sei que uma caminhada aleatória sem momento produz uma distribuição normal. O momento muda apenas a variação ou muda completamente a natureza da distribuição?
Eu estou procurando uma resposta genérica, por isso, 60% e 40% acima, eu realmente quero dizer p e 1-p
stochastic-processes
randomness
random-walk
barrycarter
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Respostas:
Para pular para a conclusão imediatamente, o "momento" não altera o fato de que a distribuição normal é uma aproximação assintótica da distribuição da caminhada aleatória, mas a variação muda de para n p / ( 1 - p ) . Isso pode ser derivado de considerações relativamente elementares neste caso especial. Não é muito difícil generalizar os argumentos abaixo para uma CLT para cadeias de Markov de espaço de estado finito, digamos, mas o maior problema é realmente o cálculo da variância. Para o problema em particular, pode4np(1−p) np/(1−p) calculados, e esperamos que os argumentos abaixo possam convencer o leitor de que é a variação correta.
Usando o insight que o Cardinal fornece em um comentário, a caminhada aleatória é dada como que X k ∈ { - 1 , 1 } e os X k formam uma cadeia de Markov com matriz de probabilidade de transição ( p 1 - p 1 - p p ) . Para considerações assintóticas quando n → ∞ a distribuição inicial de X 1 não desempenha nenhum papel, então vamos corrigir
Para calcular os momentos de pode-se notar que P ( τ 1 = 1 ) = p e para m ≥ 2 , P ( τ 1 = m ) = ( 1 - p ) 2 p m - 2 . Em seguida, técnicas semelhantes às usadas ao calcular momentos para a distribuição geométrica podem ser aplicadas. Alternativamente, se X é geométrico com probabilidade de sucesso 1 - p e Z =τ1 P(τ1=1)=p m≥2 P(τ1=m)=(1−p)2pm−2 X 1−p Z=1(τ1=1) 1+X(1−Z) τ1
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edit: I had the wrong autocorrelation (or ratherp should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)
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