Mostre que

8

Definições e outras coisas:

Considere-se um espaço de probabilidade filtrado onde(Ω,F,{Ft}t[0,T],P)

  1. T>0
  2. P=P~

Esta é uma medida neutra ao risco .

  1. Ft=FtW=FtW~

onde é padrão P = ~ P movimento -Brownian.W=W~={Wt~}t[0,T]={Wt}t[0,T]P=P~

Considere ondeM={Mt}t[0,T]

Mt:=exp(0trsds)P(0,t)

Definir medida direta :Q

dQdP:=MT=exp(0Trsds)P(0,T)

onde é curto processo taxa e { P ( T , t ) } t [ 0 , T ] é preço do título no tempo t.{rt}t[0,T]{P(t,T)}t[0,T]

Pode ser mostrado que é um ( F T , P ) - martingala onde a dinâmica dos preços ligação são dados como:{exp(0trsds)P(t,T)}t[0,T](Ft,P)

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt

Onde

  1. e ξ t sãoadaptados a F trtξtFt

  2. satisfaz a condição de Novikov (Eu não acho que ξ t é suposto representar qualquer coisa em particular)ξtξt


Problema:

Definir o processo estocástico stWQ=(WtQ)t[0,T]

WtQ:=Wt0tξsds

Use o Teorema de Girsanov para provar:

WtQ is standard Q -Brownian motion.

O que eu tentei:

Como satisfaz a condição de Novikov,ξt

0Tξtdt< a.s.  0Tξtdt< a.s.

Lt:=exp(0t(ξsdWs)120tξs2ds)

é um martingala.(Ft,P)

Por Teorema de Girsanov,

WtQ is standard P -Brownian motion, where

dPdP:=LT

Eu acho que nós temos que é padrão Q -Brownian Movimento se pudermos mostrar queWtQQ

LT=dQdP

Perdi minhas anotações, mas acho que consegui mostrar usando o lema de Ito que

  1. dLt=LtξtdWt
  2. dMt=MtξtdWt

Daqueles eu deduzo que

d(lnLt)=d(lnMt)

Lt=Mt

LT=MT

QED

Isso está certo?

BCLC
fonte
Por que o preço do título descontado pela taxa curta é um P-martingale? O preço do seu título é um GBM generalizado. Escreva como exponencial de uma difusão de Ito, deve-se observar que o desconto pela taxa curta não leva em conta a correção de Ito.
Michael
@ Michael, você tem certeza que quer dizer P como neutro em risco e não P como no mundo real?
BCLC
PtMTdLLdlnL
@ Michael Thanks! Qual parte do argumento exatamente?
BCLC 23/03

Respostas:

4

(Examinando a pergunta e a notação usadas mais de perto, a formulação parece problemática em alguns lugares.)

Fato Geral

W(Ft)t[0,T](Lt)t[0,T]

dLtLt=ψtdLt,L0=1.
Lt=e0tψsdWs120tψs2dsLtQ
dQdP=LT.
Q
WtQ=Wt0tψsds
(Ft)t[0,T]

Wtλ=Wt+0tλsdsWλQLWλP

dLWλ=LdWλ+WλdL+dLdWλ=L(ψ+λ)dt+()dW,
λ=ψWλQ

Preço com desconto como densidade de probabilidade

St

dStSt=rtdt+σtdWt
P(rt)σt(Wt)

TXTXt

dXtXt=rtdt+ψtdWt.
(ψt)Xt

Mt=e0trsdsXt

dMtMt=ψtdWt,M0=X0.
T

LT=MTM0

dQdP=LT.
Q
Wt0tψsds
(Ft)t[0,T]

e0TrsdsXTTXT0X0QQdXtXt

(Yt)e0trsdsYtP(YtXt)Q

Medida para a frente

Xt=P(t,T)tTXT=P(T,T)=1

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt,
ξt

(rt)ξ=0

Q

dQdP=e0TrsdsP(T,T)P(0,T)=LT.
dLtLt=ξtdWt,
Q
Wt0tξsds
(Ft)t[0,T]

Mte0trsdsP(t,T)P(0,T)

Comentários empíricos

QQ

F(t,T)tT

F(t,T)P(t,T)=St
PF(t,T)Q

F(t,T)=StP(t,T)
P(t,T)
d(e0trsdsP(t,T))e0trsdsP(t,T)=ξtdWt,
P(t,T)

Michael
fonte
obrigado. tãããão estou certo? ou não?
BCLC em 25/03
11
Mt
K obrigado Michael!
BCLC