-convergência do método dos elementos finitos quando o lado direito está apenas em(Poisson eqn)

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Eu sei que a aproximação do elemento finito linear por partes de satisfaz desde que U seja suficientemente suave e f \ em L ^ 2 (U) .uh

Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on U
uuhH01(U)ChfL2(U)
UfL2(U)

Pergunta: Se fH1(U)L2(U) , temos a seguinte estimativa análoga, na qual uma derivada é retirada em ambos os lados:

uuhL2(U)ChfH1(U)?

Você pode fornecer referências?

Pensamentos: Como ainda temos uH01(U) , deve ser possível obter convergência em L2(U) . Intuitivamente, isso deve ser possível com funções constantes por partes.

Bananach
fonte
Eu acho que você recebe do truque padrão de Nitsche, mesmo para . Você pode encontrar isso, por exemplo, em Braess - Elementos finitos. u H 1__você-vocêh__0 0Ch__você-vocêh__1 1vocêH1 1
KNL

Respostas:

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Sim , esse é o truque padrão de Aubin-Nitsche (ou dualidade ). A idéia é usar o fato de que é seu próprio espaço duplo para escrever a norma como norma de operador Portanto, temos que estimar para arbitrários . Para fazer isso, "elevamos" a , considerando primeiro para arbitrário a solução do problema duplo eu2eu2

__você__eu2=supϕeu2{0 0}(você,ϕ)__ϕ__eu2.
φ L 2 u - u H H 1 0 φ L 2 w φH 1 0 ( w φ , v ) = ( φ , v )(você-vocêh,ϕ)ϕeu2você-vocêhH0 01 1ϕeu2wϕH01
(1)(wϕ,v)=(ϕ,v)for all vH01.
Usando a regularidade padrão da equação de Poisson, sabemos que
wϕH2CϕL2.

Inserindo em e usando a ortogonalidade de Galerkin para qualquer elemento finito (no seu caso, linear por partes) a função produz a estimativa Como isso vale para todos os , a desigualdade ainda é verdadeira se considerarmos o todos os lineares por partes . Portanto, obtemos (1) w h ( ϕ , u - u h )v=uuhH01(1)whwhwhu - u h L 2 = sup ϕ L 2{ 0 } ( u - u h , ϕ )

(ϕ,você-vocêh)=(Wϕ,(você-vocêh))=(Wϕ-Wh,(você-vocêh))C__você-vocêh__H1 1__Wϕ-Wh__H1 1.
WhWh
2)__você-vocêh__eu2=supϕeu2{0 0}(você-vocêh,ϕ)__ϕ__eu2C__você-vocêh__H1 1supϕeu2{0 0}infWh__Wϕ-Wh__H1 1__ϕ__eu2.
Este é o Aubin-Nitsche-Lema .

O próximo passo agora é usar estimativas de erro padrão para a melhor aproximação de elementos finitos de soluções da equação de Poisson. Como está apenas em , não temos uma estimativa melhor que Felizmente, porém, podemos usar o fato de que tem maior regularidade desde o lado direito vez de . Nesse caso, temos Inserindo e emvocêH1 1

(3)__você-vocêh__H1 1infvh__você-vh__H1 1c__você__H1 1C__f__H-1 1.
Wϕϕeu2H-1 1
4)infWh__Wϕ-Wh__H1 1ch__Wϕ__H2Ch__ϕ__eu2
(3)4)2) agora produz a estimativa desejada.

(Observe que as estimativas padrão exigem que o grau polinomial da aproximação do elemento finito e o expoente Sobolev da solução verdadeira satisfaçam , portanto esse argumento não funciona para a aproximação constante por partes ( ). Também usamos - ou seja, que temos uma aproximação conforme - o que não é verdade para constantes por partes.)kmm<k+1 1k=0 0você-vocêhH0 01 1

Como você solicitou uma referência: Você pode encontrar uma declaração (mesmo para espaços Sobolev negativos vez de ) no Teorema 5.8.3 (junto com o Teorema 5.4.8) emH-seu2

Susanne C. Brenner e L. Ridgway Scott , MR 2373954 A teoria matemática dos métodos de elementos finitos , Textos em Matemática Aplicada ISBN: 978-0-387-75933-3.

Christian Clason
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E eu começo a fazer uso do nosso novo recurso citação brilhante :)
Christian Clason
Obrigado pela sua resposta, mas funções contínuas não estão incorporadas no são? H0 01 1
Bananach 3/02
Sim, desculpe, eu me afastei lá - eles são densos, mas não incorporados. O argumento da dualidade funciona da mesma forma (apenas trabalhe com e diretamente). Vou editar minha resposta de acordo. H0 01 1H-1 1
Christian Clason
Obrigado pela atualização extensa. E para encontrar outra citação brilhante
Bananach 3/17/17
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@ Praveen Acho que você não precisa de nenhuma teoria aqui. Simples escolha para ser zero constante. vh
Bananach 4/02