Condições iniciais para sistemas descritos no espaço de estado - LTI ou não?

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Suponha que tenhamos algum sistema dado por

x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)

Onde x(t) são as variáveis ​​de estado, y(t) é a saída e u(t)é a entrada. Todas as matrizes são constantes. A mesma pergunta se aplica ao caso discreto

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]y[n]=Cx[n]+Du[n]

Sabe-se que um sistema com condições iniciais diferentes de zero não pode ser LTI . No entanto, sex(0)0, Não vejo por que o sistema acima não seria LTI, como é expresso. Até onde eu sei, se um sistema é expresso dessa maneira, ele deve ser linear e, como as matrizes não dependem det, também deve ser invariável no tempo.

Portanto, temos um sistema que precisa ser LTI, pois é expresso no espaço de estados com matrizes constantes, mas não pode ser LTI porque possui x(0)0.

Não vejo o erro no raciocínio que me leva a essa contradição absurda. Alguém pode apontar isso?

Tendero
fonte
Oi Tendero: Eu tenho lidado com um problema como esse (na verdade muito mais simples) e o problema com as condições iniciais é que eles dificultam escrever a resposta da etapa de uma maneira geral (porque as condições iniciais podem mudar a cada vez) desde depende das condições iniciais. Não tenho certeza se isso está relacionado à sua pergunta, mas pode estar. Mais uma vez, eu venho da econometria de um mundo muito diferente. Definitivamente espero que alguém possa explicar isso.
mark leeds 14/03
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Eu realmente acho que você e sua referência estão sendo enganados pela semântica. Vou procurar algumas referências, mas LTI e Linearidade são itens estruturais que não dependem de predecessores específicos (isto é, história); que em sistemas "lineares" são "condições iniciais".
Rogers #
@rrogers Você pode consultar o livro Sinais e sistemas de Oppenheim . Na seção denominada "SISTEMAS CAUSAL LTI DESCRITADOS POR EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E DE DIFERENÇA" (é 2.4 na minha edição), o tópico é abordado. Por favor, esclareça-me se estou entendendo mal algo, mas o autor afirma claramente que um sistema com condições de repouso não iniciais não é LTI.
Tendero 23/03
Longe de mim corrigir seu livro (até o de Oppenheim); mas considere se o "sistema" inclui os valores das variáveis ​​ou do hardware em que atuou. Digamos que uma rede RC, você pediria uma nova teoria se a tensão na tampa fosse diferente de zero; não, isso é chamado de resposta transitória e considerado pela mesma equação. Veja a transformada de Laplace da equação diferencial LTI; possui condições "iniciais" correspondentes aos derivativos. Eu diria que o "sistema" não depende de quando as medições são feitas ou das entradas.
rrogers
Olhe para: web.mit.edu/2.14/www/Handouts/StateSpaceResponse.pdf , vtechworks.lib.vt.edu/bitstream/handle/10919/78864/… . Ambos incorporam condições iniciais em suas explicações sobre a LTI sem sequer considerar a possibilidade de alterar as equações. Outro ponto de vista (realmente o mesmo): dada a integral indefinida, você precisa estabelecer um começo e um fim quando avaliado. O início é o análogo direto da condição inicial. BTW: a maioria das condições iniciais pode ser emulada pela função delta e seus derivados.
Rogers #

Respostas:

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Como sou apenas um estudante de graduação, talvez minha resposta seja um pouco ingênua, mas, de acordo com Oppenheim, não são apenas as condições iniciais diferentes de zero que fazem com que uma equação diferencial / diferença de coeficiente constante linear seja não LTI. Uma equação diferencial / diferença com condições iniciais fixas zero também não pode ser LTI. Para que uma equação diferencial / diferença de coeficiente constante linear descreva um sistema LTI causal, as condições iniciais devem satisfazer a condição de repouso inicial: ou seja, a saída não se torna diferente de zero até que a entrada se torne diferente de zero.

Com relação à sua pergunta (a representação do espaço de estados), observe que a entrada para o sistema é u(t) e a saída é y(t). A propriedade "entrada zero / saída zero" dos sistemas lineares se aplica apenas a

y(t)=Cx(t)+Du(t)
E se x(t)=0, se considerarmos apenas u(t) é a entrada para o sistema, mas me parece que a noção de linearidade pode ser estendida às representações do espaço de estados para explicar o vetor de estado x(t). Em qualquer caso, as condições iniciais a que Oppenheim se refere quando se fala em equações diferenciais (condições na saíday(t) e seus derivados) não são iguais às condições iniciais que você referenciou na sua pergunta (condições no vetor de estado x(t)) Novamente, não sei se estou correto e sempre fui confundido com isso, mas talvez isso possa ajudar.

fonte
Penso que esta poderia ser a resposta certa, pois esqueci que Oppenheim se refere às condições iniciais de y(t)e os estados x(t)na representação do espaço de estados não são a saída. Não tenho muita certeza de ter entendido isso ainda, mas estou aceitando a resposta porque realmente acho que você acertou a cabeça.
Tendero
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Se você olhar o Capítulo 5 de:

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/readings/MIT6_011S10_notes.pdf

, intitulado "Propriedades dos modelos de espaço de estado da LTI", a equação 5.33 não parece ter um problema com as condições iniciais ou qualquer outro livro (estou corrigido, há um livro) que eu conheço. A menos que Oppenheim tenha sido tocado com insanidade, estou inclinado a aceitar sua caracterização de que as condições iniciais não desqualificam um sistema de LTI como "não linear" pelo uso do termo "linear de entrada zero".

No início das notas (e na terceira edição da Oppenheim e Shaefer), um sistema de LTI é fornecido como:

y[n]=k=x[k]h[nk]
o que não requer h[n] ser causal ou estável. x[n] não tem que satisfazer x[n]=0forn<0 .

Há ênfase no texto que é preciso considerar toda a história da x[n], não apenas para n0.

deixei

x[n]=x^[n]+x~[n]
Onde
x^[n]={x[n]forn<0and0forn0

e

x~[n]={0forn<0andx[n]forn0
por linearidade.

y[n]=k=1x^[k]h[nk]+k=0x~[k]h[nk]
E se y[n] é causal,
y[n]=k=1x^[k]h[nk]zero input linear+k=0nx~[k]h[nk]zero state linear,n0

O ponto essencial é que as condições iniciais respondem por informações anteriores. Onden=0 é referenciado para x[n]é arbitrário, que é outra manifestação de invariância do tempo. As condições iniciais não são um valor arbitrário que incomoda o sistema. E sex[n]=0 para n<0 as condições iniciais são zero.

Vamos tentar outra coisa. Deixeiz[n]=x~[n+1] (avanço de uma amostra) e com x~[n], o sistema era LTI sem controvérsia. Mas agora,

y[n]=z[1]h[n]zero input linear+k=0nz[k]h[nk]zero state linear,n0
e agora temos uma condição inicial. Um deslocamento para a frente de 1 amostra tornaria um sistema de LTI não linear?

A falácia lógica na raiz da questão é usar a definição de linearidade de estado zero e aplicá-la ao caso de entrada zero.


fonte
É em seu próprio livro, Signals and Systems , que Oppenheim afirma que um sistema descrito por uma equação diferencial / diferença com condições de repouso não iniciais não é LTI. Se possível, consulte a seção "SISTEMAS DE CATIAL LTI DESCRITADOS POR EQUAÇÕES DE DIFERENCIAL E DIFERENÇA" (é 2,4 na minha edição). Isso está de acordo com a sua resposta? Estou realmente confuso aqui.
Tendero
Essas anotações são dele e foram publicadas em 2001. Eu cresci com Lathi. e ele afirma explicitamente que um sistema deve ser AMBOS o estado zero e a entrada zero linear. observe o termo causal
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Pense neste exemplo. Eu tenho algum capacitor carregado com voltagemV0. Se eu conectar uma fonte de tensãov1(t) a tensão no capacitor mudará com o tempo, mas começará em V0. Se eu conectar uma fonte de tensãov2(t), o mesmo acontecerá. Mas, se eu conectar uma fonte de tensãov3(t)=v1(t)+v2(t), a tensão no capacitor (que seria a saída aqui) não será 2V0 às t=0. Em vez disso, continuará sendoV0. Portanto, o princípio de superposição não funciona aqui e, portanto, o sistema não é linear. Pelo menos, esse é o meu raciocínio. Você vê algum erro?
Tendero 23/03
Pense no exemplo dele. O idiota coloca aleatoriamente os capacitores de carga em um sistema. (deve ter faltado o treinamento de ESD) A única situação realista é que o capacitor carregado representa um histórico acumulado.
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Chill, não há necessidade de palavrões. Estamos falando de conceitos ideais aqui, isso é puramente matemático e nem estaríamos falando de linearidade se focarmos em casos rigorosos da vida real, pois a natureza é inerentemente não linear. Eu realmente acho que meu exemplo mostra o problema apresentado no OP de uma maneira bem simples. E, a propósito, eu não apenas desacreditaria a "Bíblia do DSP" apenas porque outras notas são mais recentes. Não acho que essa resposta seja útil, pelo menos como é agora.
Tendero 23/03