Suponha que tenhamos algum sistema dado por
Onde são as variáveis de estado, é a saída e é a entrada. Todas as matrizes são constantes. A mesma pergunta se aplica ao caso discreto
Sabe-se que um sistema com condições iniciais diferentes de zero não pode ser LTI . No entanto, se, Não vejo por que o sistema acima não seria LTI, como é expresso. Até onde eu sei, se um sistema é expresso dessa maneira, ele deve ser linear e, como as matrizes não dependem de, também deve ser invariável no tempo.
Portanto, temos um sistema que precisa ser LTI, pois é expresso no espaço de estados com matrizes constantes, mas não pode ser LTI porque possui .
Não vejo o erro no raciocínio que me leva a essa contradição absurda. Alguém pode apontar isso?
linear-systems
state-space
Tendero
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Respostas:
Como sou apenas um estudante de graduação, talvez minha resposta seja um pouco ingênua, mas, de acordo com Oppenheim, não são apenas as condições iniciais diferentes de zero que fazem com que uma equação diferencial / diferença de coeficiente constante linear seja não LTI. Uma equação diferencial / diferença com condições iniciais fixas zero também não pode ser LTI. Para que uma equação diferencial / diferença de coeficiente constante linear descreva um sistema LTI causal, as condições iniciais devem satisfazer a condição de repouso inicial: ou seja, a saída não se torna diferente de zero até que a entrada se torne diferente de zero.
Com relação à sua pergunta (a representação do espaço de estados), observe que a entrada para o sistema éu(t) e a saída é y(t) . A propriedade "entrada zero / saída zero" dos sistemas lineares se aplica apenas a
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Se você olhar o Capítulo 5 de:
https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/readings/MIT6_011S10_notes.pdf
, intitulado "Propriedades dos modelos de espaço de estado da LTI", a equação 5.33 não parece ter um problema com as condições iniciais ou qualquer outro livro (estou corrigido, há um livro) que eu conheço. A menos que Oppenheim tenha sido tocado com insanidade, estou inclinado a aceitar sua caracterização de que as condições iniciais não desqualificam um sistema de LTI como "não linear" pelo uso do termo "linear de entrada zero".
No início das notas (e na terceira edição da Oppenheim e Shaefer), um sistema de LTI é fornecido como:
Há ênfase no texto que é preciso considerar toda a história dax[n] , não apenas para n≥0 .
deixei
e
O ponto essencial é que as condições iniciais respondem por informações anteriores. Onden=0 é referenciado para x[n] é arbitrário, que é outra manifestação de invariância do tempo. As condições iniciais não são um valor arbitrário que incomoda o sistema. E sex[n]=0 para n<0 as condições iniciais são zero.
Vamos tentar outra coisa. Deixeiz[n]=x~[n+1] (avanço de uma amostra) e com x~[n] , o sistema era LTI sem controvérsia. Mas agora,
A falácia lógica na raiz da questão é usar a definição de linearidade de estado zero e aplicá-la ao caso de entrada zero.
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