Intervalos de confiança ao usar o teorema de Bayes

8

Estou computando algumas probabilidades condicionais e intervalos de confiança associados a 95%. Para muitos de meus casos, tenho contagens diretas de xsucessos fora dos ntestes (de uma tabela de contingência), para que eu possa usar um intervalo de confiança binomial, como é fornecido por binom.confint(x, n, method='exact')in R.

Em outros casos, porém, eu não tenho esses dados, então uso o teorema de Bayes para calcular as informações que tenho. Por exemplo, dado eventos e :bab

P(a|b)=P(b|a)P(a)P(b)

Posso calcular um intervalo de confiança de 95% em torno de usando e calculo o valor razão como sua razão de frequência . É possível derivar um intervalo de confiança em torno de usando essas informações?binom.confint ( # ( b P(b|a) P ( a ) / P ( b ) # ( a ) / # ( b ) P ( a | b )binom.confint(#(ba),#(a))P(a)/P(b)#(a)/#(b)P(a|b)

Obrigado.

Ken Williams
fonte
b a ba e são eventos. No meu caso, é uma falha do sistema (o que é bastante raro, tão difícil de encontrar "na natureza") é um alarme de pré-falha, por isso estou medindo a probabilidade de falha em relação a um alarme. bab
21712 Ken Williams
O comentário acima foi em resposta a alguém que pediu para mais fundo do que e foram, mas parece ter eliminado o comentário. bab
Ken Williams
Bem, você não pode simplesmente pegar o intervalo de confiança para p (b | a) e escalá-lo em p (a) / p (b) devido à incerteza na estimativa dessa relação. Se você pode construir um intervalo de confiança de 100 (1-α)% para p (a) / p (b), chame-o de [A, B], então pegue o limite inferior para um intervalo de confiança de 100 (1-α)% para p ( b | a) e multiplique-o por A e pegue o limite superior de p (b | a) e multiplique-o por B. Isso deve resultar em um intervalo que tenha pelo menos um nível de confiança de 100 (1-α) % para p (a | b). 2
Michael R. Chernick
Poderia funcionar ... não é óbvio para mim obter um intervalo de confiança para - você deseja mover isso para a área "Resposta"? Eu prometo pelo menos um voto positivo. =)P(a)/P(b)
Ken Williams
2
Você não quer um intervalo credível bayesiano ? Isso é diretamente computável a partir da distribuição posterior de . a
whuber

Respostas:

3

Bem, você não pode simplesmente pegar o intervalo de confiança para e escalá-lo em devido à incerteza na estimativa dessa relação. Se você pode construir um intervalo de confiança de para , use o limite inferior para um intervalo de confiança de para e multiplicá-la por e tomar o limite superior para e multiplicá-la por . Isso deve dar em um intervalo que tenha pelo menos um nível de confiança de para .p ( a ) / p ( b ) 100 ( 1 - α ) % [ A , B ] p ( a ) / p ( b ) 100 ( 1 - α ) % p ( b | a ) A p ( b | a ) B 100 ( 1 -p(b|a)p(a)/p(b)100(1α)%[A,B]p(a)/p(b)100(1α)%p(b|a)Ap(b|a)Bp ( a | b )100(1α)2%p(a|b)

Michael R. Chernick
fonte
Isso parece viável pelo menos como uma primeira facada. Mas eu não estou ciente de um método para derivar intervalos de confiança para a proporção de dois Bernoulli probabilidades dado contagens observadas de e em uma amostra da população. a bP(a)/P(b)ab
Ken Williams
Existe um método suposto para calcular um intervalo em por Katz et al., 1978. Não consigo encontrar o artigo original sem paywalls, mas esse código parece mostrar o método: jstor.org/ discover / 10.2307 / 2531405P(a)/P(b)
Ken Williams
Se eu não errei, aqui está uma função para fazer a estimativa do intervalo da razão de Bernoullis:binrat.confint <- function(x, y, n=Inf, m=n, p=0.95) { s2 <- 1/x - 1/n + 1/y - 1/m; x/y * exp(c(-1:1)*pnorm((1+p)/2)*sqrt(s2)) }
Ken Williams