Na ciência computacional, freqüentemente encontramos grandes sistemas lineares que somos obrigados a resolver por alguns meios (eficientes), por exemplo, por métodos diretos ou iterativos. Se focarmos neste último, como podemos estabelecer que um método iterativo para resolver grandes sistemas...
Considere um simétrica definida positiva tridiagonal sistema linear , onde A ∈ R N x N e b ∈ R n . Dados três índices 0 ≤ i < j < k < n , se assumirmos apenas linhas da equação estritamente entre i e k reter, podemos eliminar variáveis intermediárias para obter uma equação da forma u...
Eu tenho um sistema linear não homogêneo Ax=bAx=b Ax=b onde é uma matriz real com . O espaço nulo de é garantido como de dimensão zero, portanto a equação possui um inverso exclusivo . Como o resultado entra no lado direito de uma ODE, que pretendo resolver usando um método adaptativo, é...
Existe um algoritmo SVD truncado que calcula os valores singulares, um de cada vez? Meu problema: gostaria de calcular os primeiros kkk valores singulares (e vetores singulares) de uma matriz densa grande MMM , mas não sei qual seria um valor apropriado de kkk . MMM é grande, portanto, por razões...
Como o MATLAB, por exemplo, calcula o SVD de uma determinada matriz? Suponho que a resposta provavelmente envolva calcular os autovetores e autovalores de A*A'. Se for esse o caso, eu também gostaria de saber como isso os
Pelo que entendi, o método multigrid resolve um sistema linear, resolvendo uma versão mais grossa do mesmo problema (eliminando o erro de baixa frequência) e projetando-se de volta à grade fina para suavizar os erros de alta frequência. Para sistemas grandes, posso ver como um método iterativo pode...
Suponha que A∈Rn×nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n} é uma matriz definida positiva e simétrica. AAA é grande o suficiente para ser caro resolver Ax=bAx=bAx=b diretamente. Existe um algoritmo iterativo para encontrar o menor autovalor de AAA que não envolva a inversão de AAA em cada iteração? Ou...
Supondo-se que se deseje estudar em profundidade a álgebra linear numérica (e seguir os periódicos sobre álgebra linear numérica e teoria das matrizes), o que seria um curso melhor / melhor livro para começar primeiro: Com Hoffman e Kunze, com provas e rigor (não tenho problemas com matemática...
Dado um conjunto arbitrário de matrizes complexas quadradas (numéricas) , estou interessado em calcular a álgebra de Lie de matriz real gerada por , chame-a . Ou seja, eu gostaria de uma base para onde é definido recursivamente como e para .A G A G A = s p uma N R { B : B ∈ ∪ ∞ k = 1 C k } C K C...
Eu tenho uma lista euL{\cal L} de matrizes simétricas que eu preciso verificar quanto à semi-definição positiva (ou seja, seus valores próprios não são negativos). O comentário acima implica que alguém poderia fazê-lo calculando os respectivos autovalores e verificando se não são negativos (talvez...
Dado o sistema onde , li que, caso a iteração Jacobi seja usada como solucionador, o método não convergirá se tiver um valor diferente de zero componente no nulo-espaço de . Então, como alguém poderia formalmente afirmar que, desde que tenha um componente diferente de zero, abrangendo o espaço nulo...
Existe uma maneira mais rápida de calcular erros padrão para problemas de regressão linear do que invertendo ? Aqui presumo que tenhamos regressão:X′XX′XX'X y=Xβ+ε,y=Xβ+ε,y=X\beta+\varepsilon, onde é n × k matriz e y é n × 1 vetor.XXXn×kn×kn\times kyyyn×1n×1n\times 1 Para encontrar a solução do...
No livro de Nocedal & Wright sobre otimização numérica, há uma declaração na seção 2.2 (página 27): "De um modo geral, é mais fácil preservar a invariância de escala para algoritmos de pesquisa de linha do que para algoritmos de região confiável". Na mesma seção, eles falam sobre ter novas...
O produto complexo interior tem duas definições diferentes decididas pelo convenções: ˉ u T v ou u T ˉ v . No BLAS, encontrei as rotinas cdotu, zdotu e cdotc, zdotc. Os dois primeiros rotinas realmente computação u T V (um produto interno falso!) E os dois últimos rotinas conjugar o primeiro vector...
12×1212×1212 \times 12QQQdet(Q)=det(12I−Q−J)(1)det(Q)=det(12I−Q−J)(1)\det(Q) = \det(12I-Q-J) \; \; (1)JJJ Atualmente, estou fazendo isso com a biblioteca do tatu , mas ela acaba sendo muito lenta. O problema é que eu preciso fazer isso por um trilhão de matrizes e acontece que calcular os dois...
Estou fazendo uma diagonalização de Lanczos de uma grande matriz esparsa (~ 2 milhões de elementos). Quase todas as etapas do algoritmo Lanzcos são realizadas em paralelo na GPU, exceto na diagonalização da matriz de Lanczos para verificar a convergência. Para isso, tenho usado o algoritmo TQLI da...
Suponha que a seguinte matriz seja dada com sua transposta . O produto gera ,AAA⎡⎣⎢0.500−0.500−0.500−0.3330.667−0.333−0.167−0.1670.833⎤⎦⎥[0.500−0.333−0.167−0.5000.667−0.167−0.500−0.3330.833] \left[\begin{array}{ccc} 0.500 & -0.333 & -0.167\\ -0.500 & 0.667 & -0.167\\ -0.500 & -0.333 &...
Alguém poderia recomendar um método para o seguinte problema dos mínimos quadrados: encontre que minimize: , em que R é uma unidade (rotação) matriz.R∈R3×3R∈R3×3R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}∑i=0N(Rxi−bi)2→min∑i=0N(Rxi−bi)2→min\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \minRRR Eu poderia obter...
Suponha que A seja uma matriz esparsa geral e eu quero calcular os autovalores. Não sei como detectar a multiplicidade dos valores próprios. Até onde eu sei, para um caso especial, encontrando as raízes polinomiais pelo método da matriz companheira, podemos aplicar o RRQR para detectar a...
Eu tenho uma matriz quadrada simétrica real densa. A dimensão é de cerca de 1000 x 1000. Preciso calcular o primeiro componente principal e me perguntar qual pode ser o melhor algoritmo para fazer isso. Parece que o MATLAB usa os algoritmos Arnoldi / Lanczos (para eigs). Mas, lendo sobre eles, não...